Question

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x 0 ，使得f（x 0 +1）=f（x 0 ）+f（1）成

Answer 1

（1）由题意知f（x）=sinx，要f（x ₀+1）=f（x ₀）+f（1），即需sin（x ₀+1）=sinx ₀+sin1

显然当x ₀=0时等式成立，即f（x）=sinx∈M．

（2）∵函数f（x）= lg

2k

x 2 +1 ∈M ，∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，即 lg

2k

(x+1) 2 +1 =lg

2k

x 2 +1 +lg

2k

2 lg

2k

(x+1) 2 +1 =lg

2k

x 2 +1 •

2k

2

2k

(x+1) 2 +1 =

2k

x 2 +1 •

2k

2 ，

∴x ²+1=k（x ²+2x+2），∴（k-1）x ²+2kx+2k-1=0有解，

①k=1时， x=-

1

2 有解，符合；

②k≠1时，△=4k ²-4（k-1）（2k-1）≥0，∴

3-

5

2 ≤k≤

3+

5

2 ，k≠1 ，

综上：

3-

5

2 ≤k≤

3+

5

2 ．

（3）∵函数f（x）=2 ^x+x ²∈M，要证f（x）∈M，

∴f（x+1）=f（x）+f（1）有解，∴2 ^x+1+（x+1） ²=2 ^x+x ²+3有解，即2 ^x+2x-2=0有解，

设h（x）=2 ^x+2x-2，∵h（0）=-1，h（1）=2，

根据函数的零点存在性判定理得，存在x ₀∈（0，1），h（x ₀）=0，

即f（x ₀+1）=f（x ₀）+f（1）成立，∴f（x）∈M．