Question

已知函数f（x）= 1 2 x 2 + 3 2 x，数列{a n }的前n项和为S n ，点（n，S n ）（n∈N *

Answer 1

（1）∵点（n，S _n）（n∈N ^*）均在函数y=f（x）的图象上，

∴ S n =

1

2 n 2 +

3

2 n ，

∴当n=1时， a 1 = S 1 =

1

2 × 1 2 +

3

2 ×1=2 ；

当n≥2时，a _n=S _n-S _n-1=

1

2 n 2 +

3

2 n- [

1

2 (n-1 ) 2 +

3

2 (n-1)]=n+1 ．

当n=1时，也适合上式，

因此 a n =n+1(n∈ N * ) ．

（2）由（1）可得： b n =

a n

2 n-1 =

n+1

2 n-1 ．

∴T _n=

2

2 0 +

3

2 1 +

4

2 2 +…+

n

2 n-2 +

n+1

2 n-1 ，

1

2 T n =1+

3

2 2 +…+

n

2 n-1 +

n+1

2 n ，

两式相减得

1

2 T n =2+

1

2 +

1

2 2 +…+

1

2 n-1 -

n+1

2 n =1+

1×(1-

1

2 n )

1-

1

2 -

n+1

2 n =3 -

1

2 n-1 -

n+1

2 n

∴ T n =6-

n+3

2 n-1 ．

（3）证明：由c _n=

a n

a n+1 +

a n+1

a n =

n+1

n+2 +

n+2

n+1 ＞2

n+1

n+2 •

n+2

n+1 =2，

∴c ₁+c ₂+…+c _n＞2n．

又c _n=

n+1

n+2 +

n+2

n+1 =2+

1

n+1 -

1

n+2 ，

∴c ₁+c ₂+…+c _n=2n+[（

1

2 -

1

3 ）+（

1

3 -

1

4 ）+…+（

1

n+1 -

1

n+2 ）]=2n+

1

2 -

1

n+2 ＜2n+

1

2 ．

∴2n＜c ₁+c ₂+…+c _n＜2n+

1

2 成立．