Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，点（n，S n ）在函数f（x）=2 x -1的图象上，数列{b n }满足b

Answer 1

（1）依题意：S _n=2 ⁿ-1（n∈N ^*），

∴当n≥2时，a _n=S _n-S _n-1=2 ⁿ-2 ^n-1=2 ^n-1．

当n=1，S ₁=a ₁=1，∴a _n=2 ^n-1（n∈N ^*）；

（2）因为b _n=log ₂a _n-12=n-13，

所以b ₁=-12，d=b _n-b _n-1=（n-13）-（n-1-13）=1．

所以数列{b _n}是以-12为首项，以1为公差的等差数列．

∴T _n= -12n+

n(n-1)

2 =

n 2 -25n

2 =

1

2 （n-

25

2 ） ²-

625

8 ．

故当n=12或13时，数列{b _n}的前n项和最小；

（3）由T _n-b _n=

n 2 -25n

2 -（n-13）=

n 2 -27n+26

2

=

(n-1)(n-26)

2 ＜0，

∴1＜n＜26，且n∈N ^*，

所以不等式的解集为{n|1＜n＜26，n∈N ^*}．