Question

已知函数 f(x)= cx-1 x+1 （c为常数）．

Answer 1

（1）∵1为f（x）的一个零点，

∴f（1）=0，解得c=1．

（2）由（1）知： f(x)=

x-1

x+1 ，

所以 f( 4 a )+f( 4 b )=

4 a -1

4 a +1 +

4 b -1

4 b +1 =

2• 4 a+b -2

( 4 a +1)•( 4 b +1) =0 ．

（3）先证f（x）的单调性．

设0≤x ₁＜x ₂≤2，则 f( x 2 )-f( x 1 )=

c x 2 -1

x 2 +1 -

c x 1 -1

x 1 +1 =

( x 2 - x 1 )•(c+1)

( x 2 +1)•( x 1 +1) ．

∵0≤x ₁＜x ₂≤2，∴当c＞-1时，f（x ₂）＞f（x ₁），即函数f（x）在[0，2]上单调递增，

所以f（x） _max=f（2）=3，即

2c-1

2+1 =3，解得c=5；

当c=-1时，f（x ₁）=f（x ₂），即f（x）在[0，2]上是常函数，

所以f（x）=-1，不合题意；

当c＜-1时，f（x ₁）＜f（x ₂），即函数f（x）在[0，2]上单调递减，

所以f（x） _max=f（0）=3，即-1=3，显然不成立，

综上所述，c=5．