已知函数f(x)=2ex1+ax2(e为自然对数的底数).

1个回答

  • 解题思路:(Ⅰ)求导函数可得

    f′(x)=

    2

    e

    x

    (1+a

    x

    2

    −2ax)

    (1+

    ax

    2

    )

    2

    ,函数f(x)有极值,需方程1+ax2-2ax=0在x∈R上有两个不等实根,从而可求实数a的取值范围;

    (Ⅱ)f(x)-

    2

    x

    2

    −mx+2

    1+

    x

    2

    =

    2

    e

    x

    −2

    x

    2

    +mx−2

    1+

    x

    2

    ,设h(x)=2ex-2x2+mx-2,证明h(x)在(0,+∞)上单调递增,即可证得结论.

    (Ⅰ)由f(x)=

    2ex

    1+ax2,可得f′(x)=

    2ex(1+ax2−2ax)

    (1+ax2)2,….(2分)

    依题意,需方程1+ax2-2ax=0在x∈R上有两个不等实根,

    则:

    a≠0

    △=4a2−2a>0,…(4分)

    解得:a>1或a<0.…(5分)

    (Ⅱ)证明:若a=1,f(x)=

    2ex

    1+x2,

    ∴f(x)-

    2x2−mx+2

    1+x2=

    2ex−2x2+mx−2

    1+x2,

    设h(x)=2ex-2x2+mx-2,∴h′(x)=2ex-4x+m,

    设g(x)=2ex-4x+m(x>0),g′(x)=2ex-4,…(7分)

    令g′(x)<0,则0<ln2;令g′(x)>0,则x>ln2;

    ∴函数g(x)在(0,ln2)上单调减,在(ln2,+∞)上单调增,

    ∴g(x)min=g(ln2)=4-4ln2+m,

    ∴h′(x)≥4-4ln2+m,…(9分)

    ∵m>4(ln2-1),∴h′(x)≥4-4ln2+m>0,

    ∴h(x)在(0,+∞)上单调递增,

    ∵h(0)=0,

    ∴h(x)>0,…(11分)

    ∵1+x2>0,∴

    2ex−2x2+mx−2

    1+x2>0,

    ∴f(x)-

    2x2−mx+2

    1+x2=

    2ex−2x2+mx−2

    1+x2>0,

    即f(x)>

    2x2−mx+2

    1+x2.…(12分)

    点评:

    本题考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查不等式的证明,考查函数思想的运用,正确构造函数,确定函数的单调性是关键.