解题思路:(1)求出导函数f′(x),分别令f′(x)>0,f′(x)<0,解出不等式,即可得到函数f(x)的单调区间;
(2)根据(1)确定的函数单调性,即可求出函数f(x)的极小值.
(1)∵f(x)=(2x+1)ex,
∴f′(x)=(2x+3)ex,
令f′(x)=(2x+3)ex>0,解得,x>−
3
2,
令f′(x)=(2x+3)ex<0,解得,x<−
3
2,
∴f(x)的单调递增区间为(−
3
2,+∞),单调递减区间为(−∞,−
3
2).
(2)令f'(x)=(2x+3)ex=0,得x=−
3
2,
x (−∞,−
3
2) −
3
2 (−
3
2,+∞)
y' 负 0 正
y 递增 递减∴当x=−
3
2时,f(x)取得极小值f(−
3
2)=−2e−
3
2.
故函数f(x)的极小值为−2e−
3
2.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查利用导数研究函数的单调性与极值,要注意求极值时,导数等于0根的左右单调性的判断.考查了分析解决问题的能力.属于基础题.