Question

已知函数f（x）=ex-tx（e为自然对数的底数）．

Answer 1

解题思路：（1）借助导数，讨论t的不同范围确定函数的单调增区间；

（2）将问题化恒成立问题，再转化为最值问题．

（1）∵f（x）=e^x-tx，

∴f'（x）=e^x-t．

当t≤0时，有f'（x）＞0在R上恒成立；

当t＞0时，由f'（x）＞0可得x＞lnt．

综上可得，当t≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；

当t＞0时，函数f（x）的单调增区间为（lna，+∞）．

（2）由不等式f（x）≥x²-2t-3即e^x-x²+3≥（x-2）t的解集为M，且{x|x≥3}⊆M，可知，

对于任意x≥3，不等式e^x-x²+3≥（x-2）t即t≤

ex−x2+3

x−2恒成立．

令g(x)＝

ex−x2+3

x−2，g′(x)＝

(x−3)(ex−x+1)

(x−2)2．

令h（x）=e^x-x+1，h′（x）=e^x-1，

当x≥3时，e^x-1＞0，即h（x）≥h（3）=e³-2＞0，

∴g′（x）＞0，即x≥3时，g（x）为增函数，

∴g(x)≥g(3)＝

e3−6

3−2＝e3−6．

∴t≤e³-6．

∴实数t的取值范围是（-∞，e³-6]．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；集合的包含关系判断及应用．

考点点评： 本题考查了导数的综合应用，将单调性问题化为导数的正负问题，同时考查了转化的思想，恒成立问题化为最值问题，属于难题．