Question

m，n均为正整数，若关于x的方程4x 2 -2mx+n=0的两个实数根都大于1，且小于2，求m，n的值．

Answer 1

设f（x）=4x ²-2mx+n，

∵关于x的方程4x ²-2mx+n=0有两个实数根，

∴△=（2m） ²-16n≥0，

∴m ²≥4n，

∵此二次函数的开口向上，关于x的方程4x ²-2mx+n=0的两个实数根都大于

1，且小于2（如草图），

∴f（1）=4-2m+n＞0，f（2）=16-4m+n＞0，

设方程4x ²-2mx+n=0两根为x ₁，x ₂，

由韦达定理知：x ₁+x ₂=

m

2 ，x ₁x ₂=

n

4 ，

∵x ₁，x ₂都大于1，且小于2，

∴2＜

m

2 ＜4，1＜

n

4 ＜4，

∴4＜m＜8，4＜n＜16，

∵m，n均为正整数，

∴（1）当m=5，由m ²-4n≥0，得n=5或6，但均不满足4-2m+n＞0，

∴m≠5；

（2）当m=6，由m ²-4n＞0得n=5，6，7，8，9，

∵n，5，6，7，8不满足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，

∴n=9；

（3）当m=7，由m ²-4n≥0得n=5，6，7，8，9，10，11，12．

∵n=5，6，7，8，9，10，11，12不满足4-2m+n＞0，16-4m+n＞0，

∴此时无解；

∴m=6，n=9．