Question

证明：定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和.

Answer 1

任意函数f(x),构造两个函数,g(x),h(x)

其中,g(x)=(f(x)-f(-x))/2

h(x)=(f(x)+f(-x))/2

由于g(-x)=(f(-x)-f(x))/2=-g(-x)

h(-x)=(f(-x)+f(x))/2=h(x)

所以g(x)为奇函数,h(x)为偶函数

g(x)+h(x)=(f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2 = f(x).