Question

求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求圆的半径长和圆心坐标．

Answer 1

解题思路：根据垂径定理可知圆心在圆中弦的垂直平分线上，所以利用中点坐标公式分别找出弦OM₁和OM₂的中点坐标和各自的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为-1找出弦OM₁和OM₂的垂直平分线的斜率，即可写出两垂直平分线的方程，然后联立两直线方程求出两垂直平分线的交点坐标即为圆心的坐标，再然后利用两点间的距离公式求出圆心到O点的距离即为圆的半径．

OM₁的中点坐标为（[1/2]，[1/2]），直线OM₁的斜率为[1−0/1−0]=1，所以垂直平分线的斜率为-1

则线段OM₁的垂直平分线方程为y-[1/2]=-（x-[1/2]）化简得x+y-1=0①；

同理得到OM₂的中点坐标为（2，1），直线OM₂的斜率为[2−0/4−0]=[1/2]，所以垂直平分线的斜率为-2

则线段OM₂的垂直平分线方程为y-1=-2（x-2）化简得2x+y-5=0②．

联立①②解得

x＝4

y＝−3，则圆心坐标为（4，-3），圆的半径r=

(4−0)2+(−3−0)2=5

则圆的标准方程为：（x-4）²+（y+3）²=25

点评：

本题考点： 圆的标准方程．

考点点评： 此题考查学生会利用中点坐标公式求线段的中点坐标，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据一点和斜率写出直线的方程，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心坐标与半径写出圆的标准方程，是一道中档题．