解题思路：（1）：已知f′（-1）=0，根据求导数的方法先求出f′（x），把x=-1代入得到关于a和b的等式解出b即可；
（2）：令f′（x）=0求出稳定点时x的值1-2a和-1，根据1-2a和-1的大、小、相等分三种情况讨论函数的增减性即可；
（3）：由（1）求出极值点，由两点式求出直线方程，与曲线方程联立判断有无其他公共点．
（1）依题意，得f'（x）=x2+2ax+b
由f'（-1）=1-2a+b=0得b=2a-1
（2）由（1）得f(x)＝
1
3x3+ax2+(2a−1)x
故f'（x）=x2+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1）
令f'（x）=0，得x=-1或x=1-2a
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：
x（-∞，1-2a）（1-2a，-1）（-1+∞）
f'（x）+-+
f（x）单调递增单调递减单调递增①当a＞1时，1-2a＜-1由此得，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）．
②当a=1时，1-2a=-1．此时f′（x）≥0恒成立，且仅在x=-1处f′（x）=0故函数f（x）的单调增区间为R．
③当a＜1时，1-2a＞-1同理可得函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞）单调减区间为（-1，1-2a）．
（3）：当a=3时，f（x）=[1/3]x3+3x2+5x，
由得f'（x）=x2+6x+5，解得x=-5或x=-1，
由（2）知函数f（x）的单调增区间为（-∞，-5）和（-1，+∞），单调减区间为（-5，-1）
∴函数f（x）在x1=-5，x2=-1处取得极值，
故M(−5，
25
3)，N(−1，−
7
3)
∴直线MN的方程为，y=-[8/3]x-5．
由
y＝
1
3x3+3x2+5x
y＝−
8
3x−5消去y得：得x3+9x2+23x+15=0，
令F（x）=x3+9x2+23x+15．
易得F（-4）=3＞0，F（-2）=-3＜0，而F（x）的图象在（-4，-2）内是一条连续不断的曲线，
故F（x）在（-4，-2）内存在零点x0，这表明线段MN与曲线f（x）有异于M，N的公共点．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．