Question

已知圆O：x2+y2=1，圆C：（x-2）2+（y-4）2=1．在两圆外一点P（a，b）引两圆切线PA、PB，切点分别为

Answer 1

解题思路：（1）连接PO，PC，利用|PA|=|PB|．结合半径，推出实数a，b间的关系式．（2）利用（1）的结论，通过勾股定理求出切线长|PA|的表达式，利用配方法求出最小值．（3）设存在以P为圆心的圆，设出半径，利用|PC|=|PO|+2，结合勾股定理推出a2+b2＝4−(a+2b)＝−1＜0，说明故满足条件的圆不存在．

（1）连接PO，PC，∵|PA|=|PB|，|0A|=|CB|=1，

∴|PO|²=|PC|²从而a²+b²=（a-2）²+（b-4）²，a+2b-5=0．

（2）由（1）得a=-2b+5

∴|PA|=

|PO|2−|OA|2＝

a2+b2−1=

5b2−20b+24=

5(b−2)2+4

当b=2时，|PA|_min=2．

（3）若存在，设半径为R，则有|PO|=R-1，|PC|=R+1，于是|PC|=|PO|+2，

即

(a−2)2+(b−4)2 ＝

a2+b2+2

整理得

a2+b2＝4−(a+2b)＝−1＜0

故满足条件的圆不存在．

点评：

本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，存在性问题的解法，考查计算能力，推理能力．