Question

设函数f（x）=2x+[a2x-1（a为实数）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2^x-1，代入方程即可求解；

（Ⅱ）①当a=-1时，依据函数单调性，不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，可化为t²-2t＞2t²-k恒成立，从而转化为k＞（t²+2t）_max；

②该问题可转化为当x∈[0，1]时，f（x）的值域为g（x）值域的子集，利用单调性易求两函数值域，由集合包含关系可得到不等式组，解出即可．

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2^x-1，

由题意得|2^x-1|=1，

所以2^x-1=1或2^x-1=-1，

解得x=1．

（Ⅱ）当a=-1时，f（x）=2x−

1

2x−1，该函数在R上单调递增．

①不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，即t²-2t＞2t²-k，

从而k＞（t²+2t）_max，

又当t∈（1，4]时，（t²+2t）_max=4²+2×4=24，所以k＞24．

②当x∈[0，1]时，g（x）=2x+b的值域为[b，2+b]，

当x∈[0，1]时，f（x）=2x−

1

2x−1的值域为[-1，

1/2]]，

根据题意可得[b，2+b]⊇[-1，[1/2]]，

从而

b+2≥

1

2

b≤−1解得-

3

2≤b≤−1．

故实数b的取值范围为：-

3

2≤b≤−1．

点评：

本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．

考点点评： 本题考查指数方程的求解、函数恒成立及函数零点问题，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．