Question

已知x→0时，f（x）=3sinx-∫3x0costdt与cxk是等价无穷小，则（　　）

Answer 1

解题思路：首先计算f（x）的表达式，并将其泰勒展开，从而可以得到c与k的取值．

因为f（x）=3sinx-

∫3x0costdt=3sinx-sin（3x），

将其在x=0处泰勒展开可得，

f（x）=3(x−

1

3!x3+o(x3))-(3x−

1

3!(3x)3+o((3x)3))

=4x³+（x³），

所以当x→0时，f（x）～4x³，

故k=3，c=4．

故选：C．

点评：

本题考点： 等价无穷小代换定理及其应用；带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式．

考点点评： 本题主要考查了等价无穷小的概念以及利用泰勒公式计算无穷小量的阶数的方法，难度系数适中．泰勒公式是一个重要知识点，可用于极限的计算、函数的逼近、无穷小量阶数的计算以及不等式的证明中，需要熟练掌握．