已知x→0时，函数f（x）=3sinx-sin3x - 知识问答

已知x→0时，函数f（x）=3sinx-sin3x与cxk是等价无穷小，则（　　）A．k=1，c=4B．k=1，c=-4

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∵
正弦函数在x=0处的带佩亚诺型的泰勒展开式：
sinx＝
n
k＝1(?1)k?1
x2k?1
(2k?1)!+o(x2k?1)
∴
函数在x=0处的三阶泰勒展开式分别为：
sinx＝x?
x3
3!+o(x3)
sin(3x)＝3x?
(3x)3
3!+o(x3)
∴
f（x）=3sinx-sin（3x）
=3[x?
x3
3!+o(x3)]?[3x?
(3x)3
3!+o(x3)]
=3x?
x3
2?3x+
9x3
2+o(x3)
=4x³+o（x³）
∴
lim
x→0
3sinx?sin(3x)
cxk＝
lim
x→0
4x3+o(x3)
cxk=1
对于分子，分母均为多项式且x→0来讲，当极限为非零常数时，分子和分母的最高幂次相等
∴k=3
∴c=4
故选：C

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