Question

已知函数f（x）=k•4x-k•2x+1-4（k+5）在区间[0，2]上存在零点，则实数k的取值范围是______．

Answer 1

解题思路：要使函数f（x）=k•4^x-k•2^x+1-4（k+5）在区间[0，2]上存在零点，换元令t=2^x，则t∈[1，4]，即f（t）=k•t²-2k•t-4（k+5）=k（t-1）²-5（k+4）在[1，4]上有零点，根据零点判定定理即可求得结论．

令t=2^x，则t∈[1，4]，

∴f（t）=k•t²-2k•t-4（k+5）=k（t-1）²-5（k+4）在[1，4]上有零点，

∴f（1）f（4）≤0即可，即-5（k+4）（4k-20）≤0，

解得k≥5或k≤-4，

故答案为：（-∞，-4]∪[5，+∞）．

点评：

本题考点： 函数零点的判定定理．

考点点评： 此题是中档题．考查函数的零点与函数图象的交点之间的关系，体现了转化的能力，同时考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．