Question

双曲线焦点在x轴上,直线l过点【a,0】和【0,b】,点【1,0】到直线l的距离与点【-1,0】到直线距离之和

Answer 1

由截距式易知直线L：x/a+y/b=1,即bx+ay-ab=0

依题并结合点到直线距离公式有：

|b-ab|/√(a^2+b^2)+|-b-ab|/√(a^2+b^2)

而a^2+b^2=c^2,e=c/a

则有|a-1|+|a+1|≥4c^2/[5√(e^2-1)]

由绝对值不等式知|a-1|+|a+1|≤|(a-1)+(a+1)|=2a（注意到a>0）

则有2a≥4c^2/[5√(e^2-1)]

即4e^2-25e^2+25≤0（注意到e>0）

解得√5/2≤e≤√5