Question

已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）依题意，令

f′(x)=g′(x)，得x=

1-b

2

，

因为f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)

，进而得到b与c的关系式．

（Ⅱ）（ⅰ）当c=4时，则b=3，得F′（x）=3x²+12x+13，若存在满足条件的点M，则F′（x）=1，进而得到答案．

（ⅱ）令F′（x）=0，得△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，根据列表可得x=x₀不是函数F（x）的极值点．若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），根据列表可得x=x₁是函数F（x）的极大值点，x=x₂是函数F（x）的极小值点．进而解出答案．

（Ⅰ）依题意，令f′(x)=g′(x)，得2x+b=1，故x=

1-b

2．由于f(

1-b

2)=g(

1-b

2)，得(b+1)2=4c．

∵b＞-1，c＞0，

∴b=-1+2

c．

（Ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．

（ⅰ）当c=4时，则b=3，

所以F（x）=f（x）g（x）=x³+6x²+13x+12，所以F′（x）=3x²+12x+13，

若存在满足条件的点M，则有：F′（x）=3x²+12x+13=1，

解得：x=-2，y=2，

所以这样的点M存在，且坐标为（-2，2）．

（ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．

令F′（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0；所以△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），

若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，设为x₀，此时F′（x）的变化如下：

x （-∞，x₀） x₀（x₀，+∞）

F′（x） + 0 +于是x=x₀不是函数F（x）的极值点．

若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的变化如下：

x （-∞，x₁） x₁（x₁，x₂） x₂（x₂，+∞）

F′（x） + 0 - 0 +由此，x=x₁是函数F（x）的极大值点，x=x₂是函数F（x）的极小值点．

综上所述，当且仅当△＞0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点.

由△=4(b2-3c)＞0得b＜-

3c或b＞

3c．∵b=-1+2

c，

∴-1+2

c＜

3c或-1+2

c＞

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握导数的几何意义，并且熟练掌握利用导数解决极值与单调性问题．