解题思路：（1）求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数得到函数值为15，把x=-1代入f（x）得到函数值为-5，把x=4代入导函数得到函数值为0，列出关于a，b和c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b和c的值，代入即可确定出f（x）；
（2）把（1）求出的a和b代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值．
.（1）求出导函数得：f′（x）=3ax2+2bx，
由题意可知：
f′(−1)＝15
f(−1)＝−5
f′(4)＝0，即
3a−2b＝15
−a+b+c＝−5
48a+8b＝0，
解得：
a＝1
b＝−6
c＝2，∴f（x）=x3-6x2+2；
（2）把a=1，b=-6代入导函数得：f′（x）=3x2-12x，
由f′（x）=0，解得x=0或x=4，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
x （-∞，0） 0 （0，4） 4 （4，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） ↑ 极大值2 ↓ 极小值-30 ↑∴当x=0时，f（x）取得极大值2，当x=4时，f（x）取得极小值-30．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．