Question

齐次线性方程组的通解问题设A是n阶矩阵,对于齐次线性方程组Ax=0,如r(A)=n-1,且代数余子式A11≠0,则Ax=

Answer 1

初学做这题目, 恐怕你看不懂呢

因为 r(A)=n-1

所以 Ax=0 的基础解系含 1 个解向量.

且 |A|=0.

又由 AA*=|A|E=0

所以 A* 的列向量都是 Ax=0 的基础解系.

再由A11≠0知 (A11,A12,...,A1n)^T 是Ax=0 的基础解系

所以 Ax=0 的通解为 c(A11,A12,...,A1n)^T.

因为 r(A)=n-1

所以 r(A*)=1

所以 A*x=0 的基础解系含 n-1 个解向量

再由 A*A=|A|E=0

所以 A 的n-1个线性无关的列构成 A*x=0 的基础解系.

由于 r(A*)=1

所以 r(A**)=1

任一n个线性无关的向量构成 A**x=0 的基础解系.