解题思路：（Ⅰ）由 f′（x）=-x2+（2a+1）x-2a=0，得x1=1，x2=2a，按两根1与2a的大小关系进行分类讨论，列出f′（x）、f（x）随x的变化情况表，根据极值点的定义可求；
（II）由题意可知，先使得对任意x∈[1，3]时，恒有
t
a
2
−f(x)＞
3
2
成立，然后再使得任意a∈（2，3）时不等式恒成立，分别转化函数最值求解即可；
（Ⅲ）求出x＜0和x＞0时q′（x）及其值域，易知a≠0，分x1＞0和x1＜0两种情况进行讨论，按照值域的包含关系可得a的范围；
（Ⅰ）令 f′（x）=-x2+（2a+1）x-2a=0，解得x1=1，x2=2a，
（1）当a＞
1
2时，
x （-∞，1） 1 （1，2a） 2a （2a，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -因此，函数f（x）在x=1处取得极小值，极小值点为x=1；
函数f（x）在x=2a处取得极大值，极大值点为x=2a；
（2）当a＜
1
2时，
x （-∞，2a） 2a （2a，1） 1 （1，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -因此，函数f（x）在x=1处取得极大值，极大值点为x=1；
函数f（x）在x=2a处取得极小值，极小值点为x=2a．
（II）由题意可知，对任意a∈（2，3）及x∈[1，3]时，恒有ta2−f(x)＞
3
2成立等价于ta2−
3
2＞f(x)max，
f（x）在x∈[1，3]上的最大值为f（3）=3a-[7/2]，
任意a∈（2，3）时，ta2−
3
2＞f(x)max=3a-[7/2]恒成立，
∴t＞[3/a−
2
a2]，a∈（2，3）时恒成立，
令g（a）=[3/a−
2
a2]，令m=[1/a]，m∈（[1/3，
1
2]），g（m）在m∈（[3/a−
2
a2]）时为增函数，
∴[7/9]＜g（x）＜1，
∴实数t的取值范围为t≥1；
（III）当x＜0时，有q′（x）=h′（x）=3x2-2（a2-a-1）x+5，
当x＞0时，有q′（x）=g（x）=2a2x+a，因为a=0时不符合题意，因此a≠0，
下面讨论a≠0的情形，记A=（a，+∞），B=（5，+∞），
（i）当x1＞0时，q′（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x′2＜0成立且A⊆B，
因此有a≥5；
（ii）当x1＜0时，q′（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＞0且B⊆A，因此a≤5，
综合（i）（ii）a=5；
当a=5时A=B，则∀x1＜0，q′（x1）∈B=A，即∃x2＞0，使得q′（x2）=q′（x1）成立，
因为q′（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x2的值是唯一的；
同理，∀x1＞0，即存在唯一的非零实数x2（x2≠x1），q′（x）在（0，+∞）上单调递增，
要使q′（x2）=q′（x1）成立，所以a=5满足题意．
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的极值、最值及恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大．