已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.

2个回答

  • 解题思路:(1)把x=2代入可求得q与p的关系式;

    (2)由△=b2-4ac可判断抛物线与x轴的交点情况;

    (3)先写出该抛物线的顶点坐标,方程根与系数关系可求线段AB的长,进而求得△AMB的面积表达,从而求得最小值.

    (1)把x=2代入得22+2p+q+1=0,即q=-(2p+5);

    (2)证明:∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q>0,

    由(1)得△=p2+4(2p+5)=p2+8p+20=(p+4)2+4>0,(3分)

    ∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根.(4分)

    ∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点;(5分)

    (3)抛物线顶点的坐标为M(−

    p

    2,

    4q−p2

    4),(6分)

    ∵x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,

    x1+x2=−p

    x1x2=q,

    ∴|AB|=|x1−x2|=

    (x1+x2)2−4x1x2=

    p2−4q.(7分)

    ∴S△AMB=

    1

    2|AB|•|

    4q−p2

    4|=

    1

    8(p2−4q)

    p2−4q,(8分)

    要使S△AMB最小,只须使p2-4q最小.

    由(2)得△=p2-4q=(p+4)2+4,

    所以当p=-4时,有最小值4,此时S△AMB=1,q=3.(9分)

    故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(10分)

    点评:

    本题考点: 抛物线与x轴的交点.

    考点点评: 考查了代入法、判别式△的使用,以及一元二次方程中根与系数的关系、三角形面积的求法、最大最小值的求解等内容.