Question

已知一元二次方程x 2 +px+q+1=0的一根为2．

Answer 1

（1）由题意得2 ²+2p+q+1=0，即q=-2p-5；

证明：（2）∵一元二次方程x ²+px+q=0的判别式△=p ²-4q，

由（1）得△=p ²+4（2p+5）=p ²+8p+20=（p+4） ²+4＞0，

∴一元二次方程x ²+px+q=0有两个不相等的实根，

∴抛物线y=x ²+px+q与x轴有两个交点；

（3）由题意，x ²+px-2p-4=0，

解此方程得x ₁=2，x ₂=-p-2 （p≠-4），

∴AB=p+4（p＞-4）或AB=-P-4（P＜-4），

∵y=x ²+px-2p-4的顶点坐标是 (-

p

2 ，-

(p+4) 2

4 ) ．

以AB为直径的圆经过顶点，

(p+4) 2

4 =

p+4

2 或

(p+4) 2

4 =-

p+4

2 ．

解得p=-2或p=-6，

∴

p=-2

q=-1 或

p=-6

q=7 ．