Question

已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，P是棱CC1上任一点，CC1=m，（0＜m＜2）．

Answer 1

解题思路：（1）存在m=1，使平面BPD₁⊥面BDD₁B₁，连接AC，AC₁，BD₁，设AC₁∩BD₁=H，由H是AC₁的中点，连接PH，进而由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理可得答案；

（2）存在m=[4/3]，使三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等，由三棱锥B-PAC即四棱锥P-ABC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的底面积之比为1：2，三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等，可得：两个棱锥的高之比应为：2：1，即PC：PC₁=2：1，即m：（2-m）=2：1，解得答案．

（1）存在m=1，使平面BPD₁⊥面BDD₁B₁，理由如下：

连接AC，AC₁，BD₁，设AC₁∩BD₁=H，

由H是AC₁的中点，连接PH，

由m=1时，P为CC₁的中点，可得PH是△C₁AC的中位线，

则PH∥AC，

∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，BD∩BB₁=B，BD，BB₁⊂面BDD₁B₁，

∴AC⊥面BDD₁B₁，

∴PH⊥面BDD₁B₁，

又∵PH⊂平面BPD₁，

∴平面BPD₁⊥面BDD₁B₁；

（2）存在m=[4/3]，使三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等，理由如下：

∵三棱锥B-PAC即四棱锥P-ABC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的底面积之比为1：2，

若三棱锥B-PAC和四棱锥P-A₁B₁C₁D₁的体积相等，

则两个棱锥的高之比应为：2：1，

即PC：PC₁=2：1，

即m：（2-m）=2：1，

解得：m=[4/3]

点评：

本题考点： 平面与平面垂直的判定．

考点点评： 本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面垂直的判定，棱锥的体积，难度中档．