记F(x)=∫(0,x) f(t)dt-∫(-x,0) f(t)dt,则
F(x+T)=∫(0,x+T) f(t)dt-∫(-(x+T),0) f(t)dt
=∫(0,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,0) f(t)dt
=∫(0,x) f(t)dt+∫(x,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,-x) f(t)dt-∫(-x,0) f(t)dt
=F(x)+∫(x,x+T) f(t)dt-∫(-x-T,-x) f(t)dt,
其中∫(x,x+T) f(t)dt和∫(-x-T,-x) f(t)dt都是f(t)在长为周期T的区间上的积分,所以两者相等,所以
F(x+T)=F(x),
从而F(x)也是以T为周期的函数.