解题思路：（Ⅰ）根据f（-1）=0可得a-b+1=0①又函数f（x）的值域为[0，+∞）可分析出a＞0故可将f（x）=ax2+bx+1变形为f（x）=a
(x+
b
2a
)
2
+
4a−
b
2
4a
故y
≥
4a−
b
2
4a
所以4a-b2=0②，然后由①②即可求出a，b的值从而求出f（x）．
（Ⅱ）根据F（x）=xf（x）可求出F（x）的解析式再根据导数的几何意义可得曲线F（x）在x=1处的切线方程的斜率为F′（1）然后再根据点斜式写出切线方程即可．
（Ⅰ）∵f（-1）=0∴a-b+1=0①又函数f（x）的值域为[0，+∞）∴a＞0∵f（x）=ax2+bx+1=a(x+b2a)2+4a−b24a∴y≥4a−b24a∴4a-b2=0②由①②得：a=1，b=2∴f（x）=x2+2x+1（Ⅱ）∵F（x）=xf（x）∴F′（x）=3x2+4x+1∴...
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质．
考点点评： 本题主要考查了利用导数的几何意义研究在某点处的切线方程，属常考题，较难．解题的关键是根据导数的几何意义得出F′（1）即为曲线F（x）在x=1处的切线方程的斜率！