Question

已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）用首项和公差，表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果．从而可求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）将（Ⅰ）的结果代入，再裂项，从而可求S_n；

（Ⅲ） 假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．得t≥

2n

(n+1)

2

，求出右边的最大值即可．

（Ⅰ）由题意得（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）2，…2 分

整理得2a₁d=d2．

∵a₁=1，解得（d=0舍），d=2．…4 分

∴a_n=2n-1（n∈N*）．…6 分

（Ⅱ）b_n=

1

n(an+3)=

1

2n(n+1)=

1/2]（[1/n]-[1/n+1]），

∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=[1/2][（1-[1/2]）+（[1/2]-[1/3]）+…+（[1/n]-[1/n+1]）]=[1/2]（1-[1/n+1]）=[n

2(n+1)．…10 分

（Ⅲ）假设存在整数t满足8S_n≤t（a_n+3）总成立．

得t≥

2n

(n+1)2，而

2n

(n+1)2=

2

n+

1/n+2]≤[2/2+2]=[1/2]，即

2n

(n+1)2的最大值为[1/2]，

∴t≥[1/2]适合条件…（12分）

点评：

本题考点： 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质．

考点点评： 本题以数列为载体，考查等差数列与等比数列的综合，考查裂项求和，考查分离参数法求解恒成立问题．