解题思路：（I）欲求函数f（x）的解析式，根据题意，即求出其中的f'（2）的值，故只须对函数求导后令x=2即可；
（II）设F（x）=f（x）+g（x），对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，只须a≥F（x）max即可，利用导数求函数F（x）的最大值，则实数a的取值范围可求．
（III）由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，再分别令
x＝
x
1
a
1
x
1
+
a
2
x
2
，
x＝
x
2
a
1
x
1
+
a
2
x
2
，后利用不等式的性质两式相加，得到一个不等关系式，化简即可证出结论．
（I）因为f(x)＝
1
2x2−f′(2)x，
所以f′（x）=x-f′（2）．（2分）
令x=2，得f′（2）=1，
所以f（x）=[1/2x2−x．（4分）
（II）设F（x）=f（x）+g（x）=lnx-x，
则F′(x)＝
1
x−1，（5分）
令F′（x）=0，解得x=1．（6分）
当x变化时，F（x）与F′（x）的变化情况如下表：
x （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 -
f（x） 增 极大值 减所以当x=1时，F（x）max=F（1）=-1．（9分）
因为对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）+g（x）≤a成立，
所以a≥-1．（10分）
（III）证明：由（II），得F（x）=lnx-x≤-1，即lnx≤x-1，
令x＝
x1
a1x1+a2x2]，得ln
x1
a1x1+a2x2≤
x1
a1x1+a2x2−1，
令x＝
x2
a1x1+a2x2，得ln
x2
a1x1+a2x2≤
x2
a1x1+a2x2−1，（11分）
所以a1ln
x1
a1x1+a2x2+a2ln
x2
a1x1+a2x2≤a1(
x1
a1x1+a2x2−1)+a2(
x2
a1x1+a2x2−1)
因为a1+a2=1，
所以a1ln
x1
a1x1+a2x2+a2ln
x2
a1x1+a2x2≤1−a1−a2＝0，
即a1ln
x1
a1x1+a2x2+a2ln
x2
a1x1+a2x2≤0，
所以a1lnx1-a1ln（a1x1+a2x2）+a2lnx2-a2ln（a1x1+a2x2）≤0，
即a1ln1+a2lnx2≤（a1+a2）ln（a1x1+a2x2），
所以a1lnx1+a2lnx2≤ln（a1x1+a2x2）．（14分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的导函数在某一区间上大于0，原函数是增函数，导函数小于0，原函数是减函数，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分离变量法，是中档题．