Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）= 1 2 x 2 -2x

Answer 1

（1）h（x）=f（x+1）-g′（x）=ln（x+1）-x+2，（x＞-1）

所以h′（x）=

1

x+1 -1=

-x

x+1 ，当-1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0．

因此，h（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．

故当x=0时，h（x）取得最大值h（0）=2．

（2）∵xf（x）+3g′（x）+4=xlnx+3（x-2）+4=xlnx+3x-2，

∴当x＞1时，不等式k（x-1）＜xf（x）+3g′（x）+4可化为

k＜

xlnx+3x-2

x-1 =

xlnx+x

x-1 +2 ，所以不等式转化为k＜

xlnx+x

x-1 +2 对任意x＞1恒成立．

令p（x）=

xlnx+x

x-1 +2 ，则p′（x）=

x-lnx-2

(x-1 ) 2 ，令r（x）=x-lnx-2（x＞1），则r′（x）=1-

1

x =

x-1

x ＞0

所以r（x）在（1，+∞）上单调递增．因为r（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，r（4）=4-ln4-2=2-2ln2＞0，

所以r（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x ₀，且满足x ₀∈（3，4），

当1＜x＜x ₀时，r（x）＜0，即p′（x）＜0；当x＞x ₀时，r（x）＞0，即p′（x）＞0．

所以函数p（x）=

xlnx+x

x-1 +2 在（1，x ₀）上单调递减，在（x ₀，+∞）上单调递增，又r（x ₀）=x ₀-lnx ₀-2=0，所以lnx ₀=x ₀-2．

所以 [p(x) ] min =p( x 0 )=

x 0 ln x 0 + x 0

x 0 -1 +2 =

x 0 (ln x 0 +1)

x 0 -1 +2 =

x 0 ( x 0 -2+1)

x 0 -1 +2 =x ₀+2∈（5，6），

所以k＜[p（x）] _min=x ₀+2∈（5，6）

故整数k的最大值是5．