Question

已知函数f（x）=lnx， g(x)= 1 2 x 2 ，

Answer 1

（I）F（x）=ag（x）-f（x）=

1

2 ax ²-lnx，

F′（x）=ax-

1

x =

a x 2 -1

x （x＞0）

∴函数F（x）在（0，

1

a ）上为减函数，在（

1

a ，+∞）上为增函数

若F（x）没有零点，须且只须F（

1

a ）＞0，

即

1

2a +

1

2 lna＞0，即

1

a +lna＞ 0

设g（a）=

1

a +lna ，∵g′（a）=

a-1

a 2

∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0

∴g（a）＞0，即当a＞0时，

1

a +lna＞ 0恒成立

故若F（x）没有零点，则a的取值范围为（0，+∞）

（II）若x ₁＞x ₂＞0，总有m[g（x ₁）-g（x ₂）]＞x ₁f（x ₁）-x ₂f（x ₂）成立，

即若x ₁＞x ₂＞0，总有mg（x ₁）-x ₁f（x ₁）＞mg（x ₂）-x ₂f（x ₂）成立，

即函数h（x）=mg（x）-xf（x）=

1

2 mx ²-xlnx，在（0，+∞）上为增函数，

即h′（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立

即m≥

lnx+1

x 在（0，+∞）上恒成立

设G（x）=

lnx+1

x ，则G′（x）=

-lnx

x 2

∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，

∴G（x）≤G（1）=1

∴m≥1