解题思路：（1）求出g（x）的表达式，以及函数F（x）的导数，利用F（x）没有零点，建立条件关系，即可求实数a的取值范围；（2）构造函数，将不等式恒成立转化为求函数的最值，利用导数即可得到结论．
（1）由g′（x）=x，可设g(x)＝
1
2x2+c，又由g（2）=2，解得c=0，所以g(x)＝
1
2x2．
所以F(x)＝
a
2x2−lnx，F′(x)＝ax−
1
x＝
ax2−1
x＝
a
x(x+
1
a)(x−
1
a)．
因为a＞0，F（x）的定义域为（0，+∞），
所以当时x＞
1
a时，F'（x）＞0，0＜x＜
1
a时，F'（x）＜0．
所以F（x）在(0，
1
a)是减函数，在[
1
a，+∞)上是增函数．
易知x→0+时，F（x）→+∞；x→+∞时，F（x）→+∞．
因为F（x）没有零点，所以F（x）在（0，+∞）上的最小值是F(
1
a)＝
1
2+
1
2lna＞0，
解得a＞
1
e．所以a的取值范围为(
1
e，+∞)．
（2）原问题即p＞q＞0时，mg（p）-pf（p）＞mg（q）-qf（q）恒成立．
令h(x)＝mg(x)−xf(x)＝
m
2x2−xlnx，则h（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，
所以h'（x）=mx-lnx-1≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≥
lnx+1
x在（0，+∞）上恒成立．
令G(x)＝
lnx+1
x，则G′(x)＝−
lnx
x2，
所以当x∈（0，1）时，G′（x）＞0；x∈（1，+∞），G'（x）＜0．
所以G（x）的最大值为G（1）=1，所以m的取值范围为[1，+∞）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的最值，利用构造法构造函数是解决本题的关键．