解题思路：（1）因为函数f（x）=lnx+2x，g（x）=a（x2+x），把a=[1/2]，得
F(x)＝lnx+2x−
1
2
x
2
−
1
2
x
，然后求出其导数F′（x），最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；
（2）由题意f（x）≤g（x）恒成立，构造新函数F（x）=f（x）-g（x），然后求出
F′(x)＝−
(2x+1)(ax−1)
2x
，只要证F（x）的最大值小于0，就可以了．
（Ⅰ）F(x)＝lnx+2x−
1
2x2−
1
2x，
其定义域是（0，+∞）
F′(x)＝
1
x+2−x−
1
2＝−
(2x+1)(x−2)
2x
令F′（x）=0，得x=2，x＝−
1
2（舍去）．（3分）
当0＜x＜2时，F′（x）＞0，函数单调递增；
当x＞2时，F′（x）＜0，函数单调递减；
即函数F（x）的单调区间为（0，2），（2，+∞）．（6分）
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），
则F′(x)＝−
(2x+1)(ax−1)
x，（8分）
当a≤0时，F′（x）≥0，F（x）单调递增，
F（x）≤0不可能恒成立，（10分）
当a＞0时，令F′（x）=0，得x＝
1
a，x＝−
1
2（舍去）．
当0＜x＜
1
a时，F′（x）＞0，函数单调递增；
当x＞
1
a时，F′（x）＜0，函数单调递减；（13分）
故F（x）在（0，+∞）上的最大值是F(
1
a)，
依题意F(
1
a)≤0恒成立，
即ln
1
a+
1
a−1≤0，
又g(a)＝ln
1
a+
1
a−1单调递减，且g（1）=0，
故ln
1
a+
1
a−1≤0成立的充要条件是a≥1，
所以a的取值范围是[1，+∞）．
lnx+2x≤a（x2+x）恒成立，由于x＞0，即：a≥[lnx+2x
x2+x，即只要确定
lnx+2x
x2+x的最大值即可．
设h（x）=
lnx+2x
x2+x h'（x）=
x2+x
2 +
1/x−(2x+1)(lnx+2x)
(x2+x)2]
=
(2x+1)(1−x−lnx)
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 此题主要考查函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．