Question

已知f（x）是定义在（-∞，+∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+x

Answer 1

解题思路：（I）依题意，x=y=1，可求得f（1），再令x=y=-1，可求得f（-1）的值；

（Ⅱ）利用赋值法（令y=-1）可得到f（-x）与f（x）的关系，从而可判断函数的奇偶性．

（I）定义域内的任意x，y，f（x）都满足f（xy）=yf（x）+xf（y），

∴令x=y=1，得f（1）=0；令x=y=-1，得f（-1）=0…6分

（Ⅱ）令y=-1，有f（-x）=-f（x）+xf（-1），…9分

∵f（-1）=0，

∴f（-x）=-f（x），…12分

∴f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数…13分

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的值．

考点点评： 本题考查函数的值与函数奇偶性的判断，着重考查赋值法的灵活运用，考查观察与分析问题、解决问题的能力，属于中档题．