函数f(x)=log9(x+8−ax)在[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.

1个回答

  • 解题思路:由函数

    f(x)=lo

    g

    9

    (x+8−

    a

    x

    )

    在[1,+∞)上是增函数可以得到两个信息:

    ①对任意的1≤x1<x2,总有f(x1)<f(x2);

    ②当x≥1时,

    x+8−

    a

    x

    >0

    恒成立.

    ∵函数f(x)=log9(x+8−

    a

    x)在[1,+∞)上是增函数,

    ∴对任意的1≤x1<x2,有f(x1)<f(x2),

    即log9(x1+8−

    a

    x1)<log9(x2+8−

    a

    x2),

    得x1+8−

    a

    x1<x2+8−

    a

    x2,即(x1−x2)(1+

    a

    x1x2)<0,

    ∵x1-x2<0,∴1+

    a

    x1x2>0,[a

    x1x2>−1,a>-x1x2

    ∵x2>x1≥1,∴要使a>-x1x2恒成立,只要a≥-1;

    又∵函数f(x)=log9(x+8−

    a/x)在[1,+∞)上是增函数,∴1+8-a>0,

    即a<9,综上a的取值范围为[-1,9).

    另(用导数求解)令g(x)=x+8−

    a

    x],

    函数f(x)=log9(x+8−

    a

    x)在[1,+∞)上是增函数,

    ∴g(x)=x+8−

    a

    x在[1,+∞)上是增函数,g′(x)=1+

    a

    x2,

    ∴1+8-a>0,且1+

    a

    x2≥0在[1,+∞)上恒成立,得-1≤a<9.

    点评:

    本题考点: 复合函数的单调性;对数函数的单调性与特殊点.

    考点点评: 本题主要考查对数函数的单调性,即当底数大于1是对数函数单调递增,当底数大于0小于1时对数函数单调递减.