Question

如果在一次试验中，某事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A发生偶数次的概率为 ___ ．

Answer 1

解题思路：事件A发生偶数次的概率为 Cn0p0（1-p）n+Cn2p2（1-p）n-2+Cn4p4（1-p）n-4+…，而把[（1-p）+p]n和[（1-p）-p]n的展开式相加并除以2，即可得到事件A发生偶数次的概率．

事件A发生偶数次的概率为 C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…

又[（1-p）+p]ⁿ=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+C_nⁿpⁿ（1-p）⁰①，

[（1-p）-p]ⁿ=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ-C_n¹p¹（1-p）^n-1+C_n²p²（1-p）^n-2-C_n³p³（1-p）^n-3+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…+（-1）ⁿC_nⁿpⁿ（1-p）⁰②，

由①+②并除以2 可得

1

2[1+(1-2p)n]=C_n⁰p⁰（1-p）ⁿ+C_n²p²（1-p）^n-2+C_n⁴p⁴（1-p）^n-4+…，

故答案为：

1

2[1+(1-2p)n]．

点评：

本题考点： n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．

考点点评： 本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，二项式定理的应用，得到[（1-p）+p]n和[（1-p）-p]n的展开式，是解题的关键，属于中档题．