Question

线性代数证明题设A为3阶矩阵,a1,a2为矩阵A的分别属于特征值－1和1的特征向量,a3满足Aa3＝a2＋a3,证明a1

Answer 1

帮你证证看,答案稍等.解答如下：

A*a1=-a1,A*a2=a2; A*a3=a2+a3

反证法：假设三者线性相关,则存在k1,k2不全为0满足a3=k1*a1+k2*a2;

所以A*a3=A*( k1*a1+k2*a2) = -k1*a1+k2*a2

a2+a3 = k1*a1+k2*a2 + a2

所以-k1*a1+k2*a2 = k1*a1+k2*a2 + a2

即2*k1*a1 + a2 = 0;

因为a1,a2是不同特征值的特征向量,所以a1,a2线性无关.所以上式不成立,所以假设不成立,所以三者线性无关