证明：（Ⅰ）在函数f（x）图象上任取一点M（x，y），M关于 (
1
2 ，
1
2 ) 的对称点为N（x 1，y 1），
∴
x+ x 1
2 =
1
2
y+ y 1
2 =
1
2 ，∴
x=1- x 1
y=1- y 1 ①．
∵f（x）=
1
2 +lo g 2
x
1-x ，即 y=
1
2 +lo g 2
x
1-x ②．
将①代入②得， 1- y 1 =
1
2 +lo g 2
1- x 1
1-(1- x 1 ) =
1
2 +lo g 2
1- x 1
x 1 =
1
2 -lo g 2
x 1
1- x 1 ，
∴ y 1 =
1
2 +lo g 2
x 1
1- x 1 ，∴N（x 1，y 1）也在f（x）图象上，∴f（x）图象关于点 (
1
2 ，
1
2 ) 成中心对称．
（直接证f（x）+f（1-x）=1得f（x）图象关于点 (
1
2 ，
1
2 ) 成中心对称，也可给分）（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时， S n =f(
1
n )+f(
2
n )+…+f(
n-1
n ) ③， S n =f(
n-1
n )+f(
n-2
n )+••+f(
1
n ) ④
③+④得2S n=n-1，∴ S n =
n-1
2 ．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当n≥2时， a n =
1
(
n-1
2 +1)(
n
2 +1) =
4
(n+1)(n+2) = 4(
1
n+1 -
1
n+2 ) ，
∴当n≥2时， T n =
2
3 +4(
1
3 -
1
4 +
1
4 -
1
5 +…+
1
n+1 -
1
n+2 ) =
2
3 +4(
1
3 -
1
n+2 )=2-
4
n+2 ；
∵当n=1时， T 1 =
2
3 也适合上式，∴ T n =2-
4
n+2 (n∈ N * ) ．
由T n＜λ（S n+1+1）得， 2-
4
n+2 ＜λ(
n
2 +1) ，∴ λ＞
2
n+2 (2-
4
n+2 ) ，即 λ＞
4
n+2 -
8
(n+2) 2 ．
令 t=
2
n+2 ，则
4
n+2 -
8
(n+2) 2 = 2t-2 t 2 =-2(t-
1
2 ) 2 +
1
2 ，
又∵n∈N *，∴ 0＜t≤
2
3 ，
∴当 t=
1
2 时，即n=2时，
4
n+2 -
8
(n+2) 2 最大，它的最大值是
1
2 ，∴ λ∈(
1
2 ，+∞) ．（14分）