Question

利用导数求和：Sn=1+2x+3x^2+...+nx^n-1,(x不等于0且不等于1）

Answer 1

设f(x)=x+x^2+x^3+……+x^n,则f(x)=x+x^2+x^3+……+x^n=x(1-x^n)/(1-x)=(x-x^n)/(1-x)

所以f'(x)=1+2x+3x^2+……+nx^n-1

=[(1-nx^n-1)(1-x)-(x-x^n)(-1)]/(1-x)²

=[1-nx^(n-1)+(n-1)x^n]/(1-x)²