Question

已知某曲线经过点（1,1）,它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.

Answer 1

曲线在(a,f(a))的切线为：y=f'(a)(x-a)+f(a)

截距为-af'(a)+f(a)

由题意,有-af'(a)+f(a)=a

即解微分方程：-xy'+y=x,y(1)=1

dy/dx=y/x-1

令y/x=u,则y=xu,y'=u+xu'

代入方程得：u+xu'=u-1

得：xu'=-1

即u'=-1/x

即u=-ln|x|+C

得：y=-xln|x|+Cx

代入y(1)=1=c

故y=-xln|x|+1