解题思路：（1）由f（x）=-x3+ax2+bx+c，知f'（x）=-3x2+2ax+b，由f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，能求出b的值．
（2）由f（x）=-x3+ax2+c，知f（1）=0，c=1-a，由f′（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，
x
2
＝
2a/3]，能求出f（2）的取值范围．
（3）g（x）=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g （x）的切线的切点坐标为（x0，y0），推导出
lnx
0
+
2
x
0
−2＝0
，构造函数h（x）=lnx+[2/x]-2，能推导出过点（2，5）可作2条切线．
（1）∵f（x）=-x3+ax2+bx+c，
∴f'（x）=-3x2+2ax+b，
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f（0）=0．
∴b=0．
（2）由（1）知f（x）=-x3+ax2+c，
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，
∴c=1-a，
∵f′（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0，x2＝
2a
3，
f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴x2＝
2a
3＞1，解得a＞[3/2]，
∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7＞-[5/2]，
∴f（2）的取值范围是（-[5/2]，+∞）．
（3）g（x）=2x+lnx
设过点（2，5）与曲线g （x）的切线的切点坐标为（x0，y0），
∴y0-5=g′（x0）（x0-2），
即2x0+lnx0−5＝(2+
1
x0)(x0−2)，
∴lnx0+
2
x0−2＝0，…（10分）
令h（x）=lnx+[2/x]-2，
∴h′（x）=[1/x−
2
x2]=0
∴x=2，
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
又∵h（[1/2]）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e2）=[2
e2＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点
∴过点（2，5）可作2条曲线y=g（x）的切线．…（13分）
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查满足条件的实数值的求法，考查函数值的取值范围的求法，考查函数的切线方程的条数的判断．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高．解题时要认真审题，注意导数性质、分类讨论思想、等价转化思想的合理运用．
1年前
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