解题思路：（1）求出导函数，据已知条件中函数的单调性，判断出x=0是一个极值点，将x=0代入导函数得到函数值为0，求出b的值．
（2）将b的值代入f（x）中，将x=1代入得到a，c的关系，求出导函数的两个根即函数的两个极值点，利用函数的单调性，判断出极值点与单调区间的关系，列出不等式求出f（2）的范围．
（1）∵f（x）=-x3+ax2+bx+c
∴f'（x）=-3x2+2ax+b．
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f'（0）=0
∴b=0．
（2）由（1）知，f（x）=-x3+ax2+c
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，
∴c=1-a
∵f'（x）=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1＝0，x2＝
2a
3．
又∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴x2＝
2a
3＞1，即a＞
3
2．
∴f(2)＝−8+4a+(1−a)＝3a−7＞−
5
2．
故f(2)的取值范围为(−
5
2，+∞)．
点评：
本题考点： 函数的单调性与导数的关系；不等关系与不等式．
考点点评： 函数在极值点处的导函数为0是函数有极值的必要条件；极值点左右两边的导函数符号还必须相反．