用数学归纳法
n=1 ,e +1/e > (e^2 +2)^1/2
设n=k时成立 ,即F（1）* F（2）* F（3）…F（n）>{e^（n+1）+2}^(n/2)
当 n =k+1时 左边 = F（1）* F（2）* F（3）…F（n）*F(n+1) > {e^（n+1）+2}^(n/2) *(e^(n+1)+e^(-n-1))
右边 ={e^（n+2）+2}^[(n+1)/2]
故只需证 {e^（n+1）+2}^(n/2) *(e^(n+1)+e^(-n-1)) >{e^（n+2）+2}^[(n+1)/2] （1）式
这题难点就在这啊
（1）式 等价于它两边都平方 即 {e^（n+1）+2}^n *[ e^(2n+2)+2+ e^(-2n-2) ] >{e^（n+2）+2}^(n+1) 考虑二项式展开 (a+b)^n ,一共n+1项
左边= {e^（n+1）+2}^n *[ e^(2n+2)+2+ e^(-2n-2) ] = {e^（n+1）+2}^n * e^(2n+2) +{e^（n+1）+2}^n * [ 2+ e^(-2n-2) ] 将加号前的式子二项展开后有n+1 项,
而 右边={e^（n+2）+2}^(n+1) 展开有 n+2 项,故可去证 加号前的n+1 项每一项大于不等号右边的前n+1项 ,加号后的项 大于不等号右边最后一项
{e^（n+1）+2}^n 通项为 Cna * e^（n+1)(n-a) * 2^a (a从0 取到 n ,Cna 表示组合数 从n个里面取a个)
{e^（n+2）+2}^(n+1) 通项为 C(n+1)a * e^（n+2)(n+1-a) * 2^a (a从0 取到 n+1,比上面多 a=n+1这项）
故 左边加号前展开的一项 比 右边展开的对应项为
Cna * e^（n+1)(n-a) * 2^a *e^(2n+2) / C(n+1)a * e^（n+2)(n+1-a) * 2^a
= e^a （n-a+1）/ (n+1) (a可取0到n） 这个比值当a取0到n时 衡>=1,所以 加号前的n+1 项每一项大于不等号右边的前n+1项 （你可以考虑e^a （n-a+1）随a的增大而增大（考虑a 取t+1与a取t的比值大于1）,而a=0时e^a （n-a+1）取最小值为n+1）
右边最后一项是2^(n+1) < e^（n+1）< {e^（n+1）+2}^n * [ 2+ e^(-2n-2) ]
所以 左边 > 右边 故（1）式成立
即 n =k+1时 结论也成立