用数学归纳法
n=1 ,e +1/e > (e^2 +2)^1/2
设n=k时成立 ,即F(1)* F(2)* F(3)…F(n)>{e^(n+1)+2}^(n/2)
当 n =k+1时 左边 = F(1)* F(2)* F(3)…F(n)*F(n+1) > {e^(n+1)+2}^(n/2) *(e^(n+1)+e^(-n-1))
右边 ={e^(n+2)+2}^[(n+1)/2]
故只需证 {e^(n+1)+2}^(n/2) *(e^(n+1)+e^(-n-1)) >{e^(n+2)+2}^[(n+1)/2] (1)式
这题难点就在这啊
(1)式 等价于它两边都平方 即 {e^(n+1)+2}^n *[ e^(2n+2)+2+ e^(-2n-2) ] >{e^(n+2)+2}^(n+1) 考虑二项式展开 (a+b)^n ,一共n+1项
左边= {e^(n+1)+2}^n *[ e^(2n+2)+2+ e^(-2n-2) ] = {e^(n+1)+2}^n * e^(2n+2) +{e^(n+1)+2}^n * [ 2+ e^(-2n-2) ] 将加号前的式子二项展开后有n+1 项,
而 右边={e^(n+2)+2}^(n+1) 展开有 n+2 项,故可去证 加号前的n+1 项每一项大于不等号右边的前n+1项 ,加号后的项 大于不等号右边最后一项
{e^(n+1)+2}^n 通项为 Cna * e^(n+1)(n-a) * 2^a (a从0 取到 n ,Cna 表示组合数 从n个里面取a个)
{e^(n+2)+2}^(n+1) 通项为 C(n+1)a * e^(n+2)(n+1-a) * 2^a (a从0 取到 n+1,比上面多 a=n+1这项)
故 左边加号前展开的一项 比 右边展开的对应项为
Cna * e^(n+1)(n-a) * 2^a *e^(2n+2) / C(n+1)a * e^(n+2)(n+1-a) * 2^a
= e^a (n-a+1)/ (n+1) (a可取0到n) 这个比值当a取0到n时 衡>=1,所以 加号前的n+1 项每一项大于不等号右边的前n+1项 (你可以考虑e^a (n-a+1)随a的增大而增大(考虑a 取t+1与a取t的比值大于1),而a=0时e^a (n-a+1)取最小值为n+1)
右边最后一项是2^(n+1) < e^(n+1)< {e^(n+1)+2}^n * [ 2+ e^(-2n-2) ]
所以 左边 > 右边 故(1)式成立
即 n =k+1时 结论也成立