Question

是否存在在定义区间内处处不连续的函数

Answer 1

有 狄利克雷函数D(x) = 1(x为有理数),0(x为无理数)

狄利克雷函数的性质

1.定义在整个数轴上.

2.无法画出图像.

3.以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）.

4.处处无极限、不连续、不可导.

5.在任何区间上不黎曼可积.

6.是偶函数.

7.它在[0,1]上勒贝格可积

还有处处连续但处处不可导的,比如布朗运动的分子轨道,因为无法判断每一时刻分子的速度