已知函数f(x)=1+2sin(2ωx+π6)(其中0<ω<1),若直线x=π3是函数f(x)图象的一条对称轴.

1个回答

  • 解题思路:(1)根据对称性求得ω的值,从而得到函数的解析式,由此求得它的周期.

    (2)令

    π

    2

    +2kπ≤x+

    π

    6

    2

    +2kπ

    ,求得x的范围,即可得到函数的单调减区间.

    (1)由题可知:2ω•

    π

    3+

    π

    6=kπ+

    π

    2(k∈z),故有ω=

    1

    2+

    3

    2k.

    又∵0<ω<1,∴ω=

    1

    2.…(3分)

    f(x)=1+2sin(x+

    π

    6),由此可得函数的周期为 T=2π.…(5分)

    (2)令

    π

    2+2kπ≤x+

    π

    6≤

    2+2kπ,可得

    π

    3+2kπ≤x≤

    3+2kπ,k∈z,…(7分)

    设A=[

    π

    3+2kπ,

    3+2kπ],B=[-π,π],则A∩B=[−π,−

    3]∪[

    π

    3,π],…(9分)

    故函数f(x)在[-π,π]的单调减区间为[−π,−

    3]和[

    π

    3,π].…(10分)

    点评:

    本题考点: 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查函数y=Asin(ωx+∅)的对称性、周期性及求法,求函数y=Asin(ωx+∅)单调区间,属于中档题.