解题思路:(1)由题可得f'(x)=-3x2-4mx-m2则f'(1)=0,即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1.
(2)由(1)得f'(x)=-3x2+4x-1,令f'(x)≥0,得f(x)在[0,1]上的增区间为
[
1
3
,1]
,减区间为
[0,
1
3
]
,进而得到函数的最值[50/27].
(3)由(2)得
(1+
x
2
)(2−x)≥
50
27
即整理得
x
1+
x
2
≤
27
50
(2x−
x
2
)
可得
a
1+
a
2
+
b
1+
b
2
+
c
1+
c
2
≤
27
50
(2a−
a
2
+2b−
b
2
+2c−
c
2
)=
27
50
[2−(
a
2
+
b
2
+
c
2
)]
(1)由题可得f'(x)=-3x2-4mx-m2
则f'(1)=0,即m2+4m+3=0所以m=-3或m=-1,又m>-2,故m=-1
(2)由(1)知,f(x)=-x3+2x2-x+2,则f'(x)=-3x2+4x-1
令f'(x)≥0,得f(x)在[0,1]上的增区间为[
1
3,1],减区间为[0,
1
3],
所以f(x)min=f(
1
3)=
50
27
(3)因f(x)=-x3+2x2-x+2=(1+x2)(2-x),x∈[0,1]
所以(1+x2)(2−x)≥
50
27,即[1
1+x2≤
27/50(2−x)
所以
x
1+x2≤
27
50(2x−x2)
故
a
1+a2+
b
1+b2+
c
1+c2≤
27
50(2a−a2+2b−b2+2c−c2)=
27
50[2−(a2+b2+c2)]
又1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≤3(a2+b2+c2)
所以a2+b2+c2≥
1
3]
所以[a
1+a2+
b
1+b2+
c
1+c2≤
27/50×(2−
1
3)=
9
10](当且仅当a=b=c=
1
3时取”=”)
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件.
考点点评: 本题考查利用导数研究函数的极值与最值,还考查了利用函数的最值证明不等式恒成立的知识点,导数与不等式相结合是高考考查的热点,多以解答题的形式出现属于中档题.