Question

如图,三角形ABC中,角ABC=60度,AB=2根号2,D是线段BC上一个动点,以AD为直径画圆O分别交AB、AC于E、

Answer 1

连接OE、OF,∵∠BAC=60° ∴ ∠EOF=120°

设圆O的半径为R,则EF=√3R

连接ED,AD为直径,∴ ∠AED=90° ,∵∠ABC=60° ∴ED=EB

AE=2√2-ED

在三角形AED中 AE^2+ED^2=AD^2

则 （2√2-ED）^2+ED^2=AD^2=4R^2=4/3*EF^2

EF^2=(2*ED^2-4√2ED+8)*3/4

=(ED^2-2√2ED+4)*3/2

=(ED-√2)^2+2)*3/2

当ED=√2时,EF有最小值

EF最小值=√3

或

设圆O的半径为r,

连FO,并延长交圆O于点G,连EG,

因为∠BAC=60°

所以∠EGF=∠BAC=60

因为GF是直径

所以∠GEF=90°

所以EF=√3r,

当半径r取得最小值时,EF有最小值

当AD⊥BC时,AD最小,

因为AB=2√2,∠B=45

所以AD=2

即r=AD/2=1,

所以EF的最小值为√3