楼下的解题基本没有问题,但第一问漏掉一个条件,那就是a=0的情况.这是很容易犯的一个错误,老师应该强调过.
正确的解题应该是按照a来讨论.
1）证明：
1.如果a=0,则原方程变为2bx+c=0
a+b+c=0,所以,b=-c.,则原方程的解为1/2.,有正解.
方程3ax²+2bx+c=0.(a≠0).
2.如楼下正解
判别式Δ=(2b) ²-4(3a)c=4(b²-3ac).
∵a+b+c=0.∴b=-(a+c).∴b²=a²+2ac+c²
∴b²-3ac=a²-ac+c²
∴Δ=4(a²-ac+c²)=(2a) ²-4ac+c²+3c²=(2a-c) ²+(3c²).
即判别式Δ=(2a-c) ²+(3c²)
∵f(0)f(1) ＞0.∴f(0)=c≠0.
∴Δ=(2a-c) ²+(3c²)＞0.
∴方程f(x)=0有两个不相等的实数根.
2、证明：
易知,f(0)=c,f(1)=3a+2b+c,又a+b+c=0.∴3a+2b+c=2a+b.且c=-(a+b)
∴f(1)=2a+b.
∴f(0)f(1)=c(2a+b) ＞0.结合c=-(a+b),
∴(a+b)(2a+b) ＜0.
∵a≠0.∴a²＞0.不等式(a+b)(2a+b) ＜0两边同除以a²,可得：
[(b/a)+1][(b/a)+2] ＜0.
∴-2＜b/a＜-1.