解题思路:由
y=
10
x
10
x
+1
解得
1
0
x
=
y
1−y
,再转化为对数形式,然后由10x>0,求得反函数的定义域.用定义法判断其单调性,先在定义域上任取两个变量,且界定大小,再作差变形与零比较,得到f-1(x1)与f-1(x2)关系,可得结论.
由y=
10x
10x+1解得10x=
y
1−y,
∵10x>0,
∴0<y<1;
于是:f−1(x)=lg
x
1−x,x∈(0,1).
当0<x1<x2<1时,
x1
1−x1−
x2
1−x2=
x1−x2
(1−x1)(1−x2)
∵1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,
∴
x1
1−x1<
x2
1−x2,
于是:lg
x1
1−x1<lg
x2
1−x2,
即:f-1(x1)<f-1(x2).
∴f-1(x)在(0,1)上是增函数.
点评:
本题考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明;反函数.
考点点评: 本题主要考查函数的反函数的求法及其单调性的判断,在求反函数时,要抓住x与y互换和原函数与反函数定义域与值域互换这两点.