已知函数f(x)=10x10x+1,求f-1(x)并判断f-1(x)的单调性.

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  • 解题思路:由

    y=

    10

    x

    10

    x

    +1

    解得

    1

    0

    x

    y

    1−y

    ,再转化为对数形式,然后由10x>0,求得反函数的定义域.用定义法判断其单调性,先在定义域上任取两个变量,且界定大小,再作差变形与零比较,得到f-1(x1)与f-1(x2)关系,可得结论.

    由y=

    10x

    10x+1解得10x=

    y

    1−y,

    ∵10x>0,

    ∴0<y<1;

    于是:f−1(x)=lg

    x

    1−x,x∈(0,1).

    当0<x1<x2<1时,

    x1

    1−x1−

    x2

    1−x2=

    x1−x2

    (1−x1)(1−x2)

    ∵1-x1>0,1-x2>0,x1-x2<0,

    x1

    1−x1<

    x2

    1−x2,

    于是:lg

    x1

    1−x1<lg

    x2

    1−x2,

    即:f-1(x1)<f-1(x2).

    ∴f-1(x)在(0,1)上是增函数.

    点评:

    本题考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数单调性的判断与证明;反函数.

    考点点评: 本题主要考查函数的反函数的求法及其单调性的判断,在求反函数时,要抓住x与y互换和原函数与反函数定义域与值域互换这两点.