Question

已知x-1≤0,y-1≤0,x+y-1≥0,求z=x^2+y^2+2x+根号2的最小值

Answer 1

此种题目容易得到假解,要特别注意和严谨!

由已知,易得x≤1,y≤1,

又由 x+y-1≥0,

推导 1-y≤x≤1,得y≥0,

那么 0≤y≤1；

同理,有0≤x≤1；

对x+y-1≥0,有 x+y≥1

两边平方,得 x^2+y^2+2xy-1≥0

x^2+y^2≥1-2xy

因此 z=x^2+y^2+2x+√2

≥1-2xy+2x+√2

=2x(1-y)+1+√2

因为1-y≥0,x≥0,所以

z≥1+√2

综上,当x=0,y=1时,z有最小值1+√2